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差分约束

发表于 更新于 分类于   |   字数统计: 728(字)   |   阅读时长: 3(分)

这还是一篇以前写的文章。

差分约束问题是一类出一些形如 x-y<=b 不等式的约束，问你是否满足有解的问题，这类问题竟然可以转换成图论里的最短路径问题，下面开始详细介绍下
比如给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出 c-a 的最大值,我们可以把 a,b,c 转换成三个点，k1，k2，k3 是边上的权，如图
由题我们可以得知，这个有向图中，由题 b-a<=k1,c-b<=k2,得出 c-a<=k1+k2,因此比较 k1+k2 和 k3 的大小，求出最小的就是 c-a 的最大值了
根据以上的解法，我们可能会猜到求解过程实际就是求从 a 到 c 的最短路径，没错的….简单的说就是从 a 到 c 沿着某条路径后把所有权值和 k 求出就是 c -a<=k 的一个
推广的不等式约束，既然这样，满足题目的肯定是最小的 k，也就是从 a 到 c 最短距离
再看 a - b <= k1，b - c <= k2， c-1 <= k3， 那么有 k1+k2+k3>=0，因此若图中存在负环，就说明不存在满足条件的解
判断图中是否存在负环 可以使用 dfs 形式的 spfa 算法，使用一个 vis 数组 值为 1 表示当前正在递归栈中的点，因为点可能多次入栈，需要注意回溯时处理。
洛谷 P1993 使用了超级源点的思想，将图中的所有点与超级源点连一条权值为 0 的边，对结果没有影响，但方便了问题的处理。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
const int inf = 1e9+7;
struct node{
    int to,w;
    node(int to,int w){
        this->to = to,this->w = w;
    }
};
const int maxn = 1e4+7;
vector<node> gra[maxn];
int dist[maxn],vis[maxn];
void addedge(int a,int b,int c){
    gra[a].push_back(node(b,c));
}
int spfa(int x){
    for(int i = 0; i < gra[x].size(); i++){
        int to = gra[x][i].to;
        if(dist[to]>dist[x]+gra[x][i].w){
            if(vis[to] == 1){
                return 0;
            }
            vis[to] = 1;
            dist[to]=dist[x]+gra[x][i].w;
            int flag = spfa(to);
            if(!flag){
                return 0;
            }
            vis[to] = 0;// 回溯的处理
        }
    }
    return 1;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    int flag = 1;
    fill(dist,dist+maxn,inf);
    for(int i = 0; i < m; i++){
        int t,a,b,c;
        cin>>t;
        if(t == 1){
            cin>>a>>b>>c;
            addedge(b,a,-c);
        }else if(t == 2){
            cin>>a>>b>>c;
            addedge(a,b,c);
        }else{
            cin>>a>>b;
            addedge(a,b,0);
            addedge(b,a,0);
        }
    }
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        addedge(0,i,0);
    }
    dist[0] = 0;
    if(spfa(0)){
        cout<<"Yes";
    }else{
        cout<<"No";
    }
}