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最小生成树算法总结

发表于 更新于 分类于   |   字数统计: 1.4k(字)   |   阅读时长: 6(分)

最小生成树的算法有 Prim 和 Kruskal,首先，先说明一个结论，定义图有 n 个点，m 条边, prim 的复杂度为 O(nlogm)，kk 的复杂度为 O(mlogm)，可见 prim 更适合稠密图，而 kk 更适合稀松图。

当连通图中各边权值不相等时,最小生成树唯一;当有相等的权值时最小生成树可能不唯一。

prim 算法的思想是，首先选取一个点，加入点集，然后将该点所连的边加入边集，重复以下步骤。
选取当前边集合中权值最小的边，如果该边所连接的点不在点集中，将该边的另一个端点加入点集合，同时将该端点所连接的边加入边的集合。
当选取了 n-1 条边后，得到最小生成树。使用堆优化后的时间复杂度为 O(nlogm)。

证明，假设 prim 生成的树 T* 不是最小生成树，设最小生成树为 T，T* 中 不属于 T ，那么一定有将 加入 T，T 中形成环(此时共有 n 条边，一定存在环)，可以通过删除环上任意一条边(根据构建过程，是点所连边中权值最小的)得到更小的生成树，因此 T 不存在。

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const int maxn = 1e4 + 7;
int vis[maxn];
int n, m;
struct edge
{
    int from, to, w;
    edge(int from, int to, int w)
    {
        this->from = from;
        this->to = to;
        this->w = w;
    }
    bool operator<(const edge b) const
    {
        return this->w > b.w;
    }
};
vector<edge> gra[maxn];
priority_queue<edge> pq;
int prim()
{
    int res = 0;
    int cnt = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    vis[1] = 1;
    for (int i = 0; i < gra[1].size(); i++)
    {
        edge tmp = gra[1][i];
        pq.push(tmp);
    }
    while (cnt < n - 1 && !pq.empty())
    {
        edge top = pq.top();
        pq.pop();
        int to = top.to;
        if (!vis[to])
        {
            res += top.w;
            cnt++;
            vis[to] = 1;
            for (int i = 0; i < gra[to].size(); i++)
            {
                edge tmp = gra[to][i];
                if (!vis[tmp.to])
                {
                    pq.push(tmp);
                }
            }
        }
    }
    if (cnt != n - 1)
    {
        return -1;
    }
    else
    {
        return res;
    }
}
void addedge(int from, int to, int w)
{
    gra[from].push_back(edge(from, to, w));
    gra[to].push_back(edge(to, from, w));
}

次小生成树问题一般使用 prim 算法解决。设最小生成树的权值为 W，因为 prim 算法可以记录生成树路径，思想是在剩下的边集中尝试将每一条边 (u,v) 加入生成树中 ，此时必然可以构成一个环，此时要删除权值最大的一条边。可以用一个 max 数组记录路径 path(u,v) 上的权值最大值 max(u,v)，那么最终的答案就是 min (W + w(u,v) - max(u,v) )，max(u，v)可以在循环过程中求得。

网上的算法都是 O(V^2)的，我自己尝试了，似乎写不出堆优化的后的次小生成树写法，记录路径要用到 LCA。下面是模板的使用。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int maxn = 1e4 + 7;
int n, m;
int pre[maxn];
int dis[maxn];
bool vis[maxn];
bool use[maxn][maxn]; // 最小生成树使用的边
int maxv[maxn][maxn]; // u->v中边权最大值
int cost[maxn][maxn]; // u->v的花费
inline int prim(int s)
{
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(use, 0, sizeof use);
    memset(maxv, 0, sizeof maxv);
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pre[i] = s;
    int res = 0;
    for (int j = 1; j <= n; ++j)
    {
        int u, minw = INF;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if (!vis[i] && dis[i] < minw)
            {
                u = i, minw = dis[i];
            }
        }
        if (minw == INF)
            return -1;
        // 不连通
        res += dis[u];
        vis[u] = 1;
        use[u][pre[u]] = use[pre[u]][u] = 1;
        for (int v = 1; v <= n; ++v)
        {
            if (vis[v])
            {
                maxv[u][v] = maxv[v][u] = max(maxv[v][pre[u]], dis[u]);
            }
            if (!vis[v] && dis[v] > cost[u][v])
            {
                dis[v] = cost[u][v], pre[v] = u;
            }
        }
    }
    return res;
}
inline int smst(int s)
{
    // s:起点 ans:最小生成树的值
    int res = INF, ans = prim(s);
    if (ans == -1)
        return -1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            if (cost[i][j] != INF && !use[i][j]) // i->j有边且不在最小生成数里
                res = min(res, ans + cost[i][j] - maxv[i][j]);
    return res == INF ? -1 : res;
}

int main()
{
    freopen("data.in", "r", stdin);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            cost[i][j] = cost[j][i] = INF;
        }
    }
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int from, to, w;
        scanf("%d%d%d", &from, &to, &w);
        cost[from][to] = min(cost[from][to], w);
        cost[to][from] = min(cost[to][from], w);
    }
    cout << smst(1);
}

Kruskal 的算法思想是，对于一个有 n 个点和 m 条边的无向图来说，先对其边按照权值按照从小到大的顺序进行排序。初始化一个并查集。每次取排好序的边集中权值最小的一条边，若这条边与已经选取的边不构成回路，那么将这条边加入到最终的生成树中，最终得到的生成树一定是最小生成树。回路的判断用并查集来实现。时间复杂度为 O(mlogm)

假设 Kruskal 算法对 n≤k 阶图适用，那么，在 k+1 阶图 G 中，我们把最短边的两个端点 a 和 b 做一个合并操作，即把 u 与 v 合为一个点 v’，把原来接在 u 和 v 的边都接到 v’上去，这样就能够得到一个 k 阶图 G’(u,v 的合并是 k+1 少一条边)，G’最小生成树 T’可以用 Kruskal 算法得到。

我们证明 T’+{}是 G 的最小生成树。

用反证法，如果 T’+{}不是最小生成树，最小生成树是 T，即 W(T)})。显然 T 应该包含，否则，可以用加入到 T 中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而 T-{}，是 G'的生成树。所以 W(T-{})=W(T’)，也就是 W(T)=W(T’)+W()=W(T’+{})，产生了矛盾。于是假设不成立，T’+{}是 G 的最小生成树，Kruskal 算法对 k+1 阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal 算法得证。

算法的实现如下

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struct edge
{
    int from, to, w;
} edges[maxn];
int cmp(edge a, edge b)
{
    return a.w < b.w;
}
int n, m;
int u[maxn];
int find(int x)
{
    return u[x] == x ? x : u[x] = find(u[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
    u[x] = y;
}

int kk()
{
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        u[i] = i;
    }

    sort(edges, edges + m, cmp);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int x = find(edges[i].from);
        int y = find(edges[i].to);
        if (x != y)
        {
            merge(x, y);
            res += edges[i].w;
        }
    }
    return res;
}

对于 KK 算法，求次小生成树的方法是维护一个子图集合和一个 maxw 数组，maxw 数据记录子图集之间的最大边权。开始每个点都属于一个子图。在进行并查集合并操作的时候合并子图。每次插入边的时候，更新边端点所在子图的最大边权为新加入的边的权值。显然根据 KK 算法的思想，每次加入的边的权值都是连接的两个子图中权值中最大的。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 2e5 + 7;
vector<int> gra[maxn];
int maxw[5005][5005];
struct edge
{
    int from, to, w, vis;
} edges[5005];
int cmp(edge &a, edge &b)
{
    return a.w < b.w;
}
int n, m;
int u[maxn];
int find(int x)
{
    return u[x] == x ? x : u[x] = find(u[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
    u[x] = y;
    for (int i = 0; i < gra[x].size(); i++)
    {
        gra[y].push_back(gra[x][i]);
    }
}

int kk()
{
    int res = 0;
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        u[i] = i;
        gra[i].push_back(i);
    }

    sort(edges, edges + m, cmp);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int x = find(edges[i].from);
        int y = find(edges[i].to);
        if (x != y)
        {
            for (int j = 0; j < gra[x].size(); j++)
            {
                for (int k = 0; k < gra[y].size(); k++)
                {
                    maxw[gra[x][j]][gra[y][k]] = maxw[gra[y][k]][gra[x][j]] = edges[i].w;
                }
            }
            edges[i].vis = 1;
            merge(x, y);
            cnt++;
            res += edges[i].w;
        }
    }

    if (cnt != n - 1)
    {
        return -1;
    }
    return res;
}

int seckk()
{
    int ans = INF;
    int res = kk();
    if (res == -1)
    {
        return -1;
    }
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        if (!edges[i].vis)
        {
            int w = edges[i].w;
            int wmax = maxw[edges[i].from][edges[i].to];
            ans = min(ans, res + w - wmax);
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    freopen("data.in", "r", stdin);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].from, &edges[i].to, &edges[i].w);
        edges[i].vis = 0;
    }
    int res = seckk();

    if (res == -1)
    {
        cout << "orz";
    }
    else
    {
        cout << res;
    }
}